Définition

Une équation différentielle est tout simplement une équation qui met en relation une fonction et ses dérivées. Celles-ci sont très utiles pour modéliser une grande partie des phénomènes physiques.
Il existes deux sortes d'équations différentielles :

• Les équations différentielles ordinaires (ODE), pour lesquels les fonctions étudiées sont a une variables
• Les équations différentielles partielles (PDE), pour les fonctions a plusieurs variables.

Ici nous n'étudierons que les fonctions a une seule variable.

Notation

Une équation différentielle du premier ordre (nous allons voir ce que cela veux dire juste après) aura la forme suivante :
\[ (E)\quad\quad y' + a(x)y = b(x) \]
avec \(a\), \(b\) et \(y\) des fonctions.

Notion d'ordre

On appel l'ordre d'une équation différentielle le nombre maximum de dérivées de \(y\) nécessaire. Cette notion est similaire a la notion d'ordre pour les polynomes.
Plus l'ordre d'une equa-diff est grand, plus celle-ci est difficile a résoudre. Ici, nous verrons les ordre 1 et 2.
Pour les ordres trop grands, nous ne serons pas capable de trouver une solution analytique, et devrons donc trouver des solutions numériques en utilisant des solutions discrètes.

Equation différentielle du premier ordre

Comme dit précédemment, une équation différentielle du premier ordre s'écrirait ainsi :
\[ (E) \quad \quad y' + a(x)y = b(x) \]
Résoudre une telle équation, c'est trouver toutes les fonctions \(y\) qui vérifies l'équation \(E\). Pour cela, on va se servir de la linéarité de ces équations.
On va alors considérer deux fonctions particulières :

• \(y_H\) la solution a l'équation homogène : \((H) \quad y' + a(x)y = 0\)
• \(y_p\) une solution particulière de \(E\), plus facile a trouver

On découpe ce problème en deux, car la solution générale d'une telle équation est simplement la somme de \(y_H\) et \(y_p\).

Solution homogène

On cherche donc \(y_H\) tel que :
\[ \begin{align} y_H' + a(x)y_H & = 0 \\ y_H' &= -a(x)y_H \end{align} \]
On se rappelle alors, dans le chapitre des Dérivée, que pour \(u\) une fonction dérivable:
\[ (e^u)' = u'\cdot e^u \]
On remarque par identification que \(y_H = e^u\) et que \(u' = -a(x)\).
Pour trouver \(u\), on intègre alors \(a(x)\) et on obtient une forme générale pour la solution homogène :
\[ y_H = \lambda e^{-A(x)}, \quad \lambda \in \mathbb{R}, \quad A'(x) = a(x) \]
On a trouvé la solution homogène.

Attention, ici on ne cherche pas a déterminer \(\lambda\), cela ce fait via les conditions initiales, mais on appel cela un problème de Cauchy.

Solution particulière

La deuxième partie de la résolution d'une telle équation passe par la recherche d'une solution particulière, quelle qu'elle soit.
Il existe différentes méthodes pour trouver une telle solution.

Tout simplement deviner

Il suffit ici de trouver une seule fonction qui vérifie l'équation. On a tout a fait le droit de juste deviner une solution. Cela peut s'avérer utile sur les fonctions connus comme \(cos\), \(sin\).....

Si a et b sont multiples l'un de l'autre

Si il existe un \(\lambda\) tel que pour tout \(x\), \(\lambda a(x) =b(x)\), alors, on considère que \(y\) est une fonction constante.
On a alors le résultat suivant :
\[ \begin{align} y_p &= \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R} \\ y_p' &= 0 \\ a(x)\lambda &= b(x) \end{align} \]
\(y_p\) est donc solution.
Hélas, cette méthode est très simple, mais fonctionne rarement.

Méthode de variation de la constante

C'est la méthode la plus robuste, mais aussi la plus complexe pour trouver la solution particulière.
On suppose que \(y_p\) est une solution et que celle ci est de la forme :
\[ y_p = g(x)e^{-A(x)},\quad A' = a \]
Il ne reste alors qu'a trouver la fonction \(g\) pour avoir \(y_p\). Pour cela, on sait, par supposition, que \(y_p\) vérifie l'équation, on la réinjecte donc.
\[ \begin{align} y_p' + a(x)y_p &= b(x) \\ (g(x)e^{-A(x)})' + a(x)\cdot g(x)e^{-A(x)} &= b(x) \\ g'(x)e^{-A(x)}-g(x)a(x)e^{-A(x)} + g(x)a(x)e^{-A(x)} &= b(x) \\ g'(x)e^{-A(x)} &= b(x) \\ g'(x) &= {b(x)\over e^{-A(x)}} \\ g'(x) &= {b(x)\cdot e^{A(x)}} \\ \end{align} \]
On intègre alors le second membre, et on obtient \(g\).
On a trouvé une solution particulière !

Principe de superposition

Si il existe \(b_1, b_2\) tel que \(b = b_1 + b_2\), alors on peut trouver une solution particulière pour \(b_1\) puis \(b_2\) et les additionner pour obtenir \(y_p\).

Cas particuliers

1. Si \(a\) est une constante et \(b\) est de la forme \(P(x)e^{sx}\) avec \(P\) un polynôme et \(s\) un réel, on a alors :
\[ y_p :x \rightarrow \begin{dcases} Q(x)e^{sx},& s \ne a \\ xQ(x)e^{sx}, & s = a \end{dcases} \]
avec \(Q\) un polynôme de même degré que \(P\).
2. Si \(a\) est une constante et \(b\) est de la forme \(b \rightarrow \lambda cos(\omega x) + \mu sin(\omega x)\), alors :
\[ y_p = \alpha cos(\omega x) + \beta sin(\omega x) \]

Equations différentielles du second ordre

Ici nous n'étudieront que les equa-diff d'ordre 2 a coefficients constants.

Une équation du second ordre serait alors de cette forme :
\[ (E) \quad ay'' + by' +cy = f(x) \]
avec \((a,b,c) \in \mathbb{R}^3\).
La méthode de résolution est similaire. On essaie d'abord de résoudre l'équation homogène, puis on l'additionne a une solution particulière.

Solution homogène 2nd ordre

La solution homogène est un peu plus complexe a trouver pour l'ordre deux. On commence par considérer le polynôme caractéristique de l'équation :
\[ (E_c)\quad ar^2 + br + c = 0, \quad r\in \mathbb{C} \]
On a alors trois cas. Soit :

• il existes deux racines réelles \(r_1, r_2\) alors on a :

\[ y_H = \lambda e^{r_1 x} + \mu e^{r_2 x} \]

• Il existes une racine double réelle \(r\), ainsi:

\[ y_H = (\lambda x + \mu)e^{rx} \]

• Il existes deux racines complexes \(\alpha \pm i \beta\) :

\[ y_H = e^{\alpha x} (\lambda cos(\beta x) + \mu sin(\beta x)) \]

Le pourquoi du comment est un peu long mais est très bien expliqué sur le site de [Paul's Online Notes](https://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/complexroots.aspx).

Recherche d'une solution particulière 2nd ordre

La recherche de solution particulière pour le 2nd ordre est plus complexe que pour le premier ordre. Ici sont présentés quelques cas particuliers

1. \(f(x)\) est de la forme \(P(x)e^{rx}\) avec \(P\) un polynôme non constant et \(r \in \mathbb{C}\). Alors on a :
\[ y_p : x \rightarrow \begin{dcases} Q(x)e^{rx}&, r\text{ n'est pas racine de } E_c \\ xQ(x)e^{rx}&, r \text{ est racine simple de } E_c \\ x^2Q(x)e^{rx}&, r\text { est racone double de } E_c \end{dcases} \]
2. \(f(x)\) est de la forme \(P(x)cos(\omega x)\) (resp. \(sin\)), on applique la méthode précédente en considérant \(f_2(x) = P(x) e^{i \omega x}\) . Puis on prend la partie réelle de la solution (resp. la partie imaginaire pour \(sin\)).